Das Kelly Kriterium

Kelly Kriterium bei RICHTIGSPIELEN.com – Kelly Betting und wie man Wetteinsätze optimiert

Das Kelly-Kriterium ist eine Technik zur Wettgrößen Bestimmung. Sie balanciert Gewinn und Risiko. Das Kelly Prinzip funktioniert für jedes Investment mit einer positiven Gewinnerwartung. Viele Spieler nutzen Vorteil/Varianz für eine Annäherung an Kelly, um heraus zu finden welchen Anteil ihrer Bankroll sie pro Wette setzen sollen.

Beispiel: Sie haben einen Vorteil von 2% und eine Varianz von 4. Wenn sie „Full Kelly“ benutzen, würden sie 0.02/4 = 0.5% ihrer Bankroll wetten.

Zur Erinnerung, Varianz ist Standard Abweichung im Quadrat. Was das genau bedeutet, können sie bald hier nachlesen.

Ein weiteres Beispiel:

Ein Kartenzähler (Card Counter) hat zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Vorteil von 1%. Die Standard Abweichung beim Black Jack beträgt ca. 1.15 (variiert etwas mit unterschiedlichen Regeln usw.). Die Varianz ist also 1.152^2= 1.3225.
Er wettet also 0.01 / 1.3225 = 0.76% seiner Bankroll.

Die Wettgröße nach Kelly ist die optimale Einsatzgröße um das erwartete Wachstum des Logarithmus der Bankroll zu maximieren. Man nimmt bei der Berechnung durchschnittliches Glück an.

Mehr als Kelly zu wetten würde größere erwartete Gewinne pro Wette bringen, die größere Volatilität würde aber das Wachstum der Bankroll verlangsamen.

Sie erhalten 2 Karten, nun ist die Option “Verdoppeln” verfügbar (je nach Regeln nur bei bestimmten Starthaenden). Ihr Einsatz wird verdoppelt, Sie dürfen jedoch nur noch eine Karte ziehen (je nach Regeln kann ein geteiltes Blatt nicht verdoppelt werden).

Als Beispiel: 2-fach Kelly zu wetten würde das erwartete Wachstum auf 0% sinken lassen.

Daher sieht man häufig Leute weniger als Kelly wetten. Das verringert das erwartete Wachstum, führt aber auch zur kleinerer Volatilität. Die Hälfte von Kelly zu wetten reduziert z.Bsp. die Volatilität um 50%, das Wachstum der Bankroll aber nur um 25%.

Now let’s look at exact Kelly bet sizing, as opposed to the estimated formula above. For events with just two possible outcomes the formula is simple, a/w, where a is the advantage, and w is what a win pays, on a “to one” basis. In the example above the advantage is 4.5 × 0.2 – 0.8 = 0.1. A win pays 4.5 to one. So the Kelly percentage of bankroll to bet is 0.1/4.5 = 2.22%.

Exaktes Kelly Betting

Die Formal oben im Text ist nur eine Annäherung an exaktes Kelly Betting. Bei Ereignissen mit nur 2 möglichen Ergebnissen ist die exakte Formal „a/w“, a ist der Vorteil und w

Etwas Mathematischer

Die Herleitung dieser Formel: Sagen wir, die Größe der Bankroll vor der Wette beträgt 1 und die Größe der Wette ist x. Der erwartet Log des Wachstums der Bankroll nach der Wette ist…

f(x) = 0.2 × log(1+4.5x) + 0.8 × log(1-x)
Um f(x) zu maximieren leiten wir nach x ab und setzen f’(x)=0 .
f'(x) = 0.2 × 4.5 / (1+4.5x) – 0.8 / (1-x) = 0
0.9 / (1+4.5x) = 0.8/(1-x)
0.9 – 0.9x = 0.8 + 3.6 x
4.5x = 0.1
x = .1/4.5 = 1/45 = 2.22%

Es wird etwas unübersichtlicher, wenn das Ereignis mehr als zwei Ergebnisse hat, wie z.Bsp. beim Video Poker. Die Methode bleibt aber die gleiche.

Beispiel: Für „Full Pay Deuces Wild“ mit einer Vorteil von 0.76% für den Spieler (bei optimaler Spielweise) ist die optimale Wettgröße 0.0341915% der Bankroll.

Anscheinend gibt es eine Regel für Video Poker nach der man ungefähr das 3-5 fache des Royal Flush Pay Outs als Bankroll haben sollte um langfritig profitabel zu spielen.

Im Falle von „Full Pay Deuces Wild“ ist es genau das 3.66 fache des Royal Flush.

Mehr zu Kelly Betting unter www.bjmath.com